La paradoja de Condorcet y el teorema de Arrow: exposición y crítica

10/05/2020

Brooke Lark @brookelark


Es famosa la frase de Churchill según la cual la democracia "es el peor sistema de gobierno, si exceptuamos todos los demás sistemas que han sido puestos a prueba". Esta afirmación refleja una actitud frente a la democracia que contrasta con el entusiasmo con el que normalmente se habla de ella en el discurso político. Es una actitud que bien podría describirse en forma de gestos: una mirada escéptica, un temblor inseguro… En este artículo vamos a analizar algunas de las razones que podrían ofrecerse (y de hecho se ofrecen) a favor de esta actitud comparativamente pesimista respecto a la democracia. A diferencia de los enemigos clásicos de la democracia, los autores pesimistas no reclaman su abolición[1]. Lo que motiva esta postura no es un rechazo de la igualdad entre seres humanos, sino una cierta sensación de desengaño. Tal vez hayamos exigido demasiado del ideal democrático, vienen a decir; quizá debamos ser más modestos en nuestras aspiraciones.

 

El primer argumento que discutiremos es el que afirma que la democracia puede producir resultados incoherentes. Empecemos por un caso fácil: supongamos que prefiero el helado de chocolate al de vainilla, y el de vainilla al de limón. La estructura de mis preferencias es, por lo tanto, la siguiente: helado chocolate > helado vainilla > helado limón. Ahora bien, para que mis preferencias sean coherentes, yo debería poder afirmar también lo siguiente: helado chocolate > helado limón. Es decir, mis preferencias deben ser transitivas: si A > B > C, entonces A > C. ¿Qué tiene que ver esto con la democracia? Pues muy sencillo: la democracia es (como mínimo) un sistema de agregación de preferencias. Imaginemos una variante del caso anterior, en el que yo y dos amigos decidimos compartir un helado. Para complicar un poco las cosas, supongamos también que no acabamos de estar de acuerdo acerca de qué sabor preferimos: yo prefiero el helado de coco al de menta, pero mis amigos opinan lo contrario. Una posible manera de llegar a una solución es aplicando la regla de la mayoría: la opción que el mayor número de personas apoye determinará la elección. Dado que en este caso, la mayoría prefiere el helado de menta, esta será la opción ganadora. Este es un ejemplo (bastante simplificado, pero espero que útil) de cómo la regla de la mayoría (comúnmente sinónimo de democracia) puede constituir un método para agregar preferencias.

 

Pero en el siglo XVIII, el marqués de Condorcet descubrió que, en determinadas circunstancias, esto podía llevar a resultados incoherentes[2]. Imaginemos que tenemos tres votantes, con las siguientes preferencias: el Votante 1 prefiere (A > B > C); el Votante 2 prefiere (B > C > A), y el Votante 3 prefiere (C > A > B).

 

 

Fijémonos en que, individualmente, las preferencias de los tres votantes son transitivas. El problema, de acuerdo con Condorcet, surge cuando tratamos de agregar estas preferencias siguiendo la regla de la mayoría, pues entonces resulta que, desde un punto de vista colectivo, una mayoría prefiere A a B, B a C y C a A. En otras palabras, cuando agregamos preferencias, obtenemos el siguiente resultado: A > B > C > A. Pero, aparentemente, esto no sería muy distinto de una situación en la que yo prefiriese el helado de chocolate al de vainilla, el helado de vainilla al de limón, pero en cambio prefiriese el de limón al de chocolate. Por qué el descubrimiento de Condorcet -comúnmente conocido como la paradoja de Condorcet- puede ser un problema para la democracia es bastante evidente. Por un lado, la regla de la mayoría juega un papel enormemente importante en las sociedades democráticas. Por el otro, se suele asumir que las decisiones democráticas reflejan de algún modo la voz de los ciudadanos. Pero si el resultado que obtenemos es incoherente, ¿qué clase de reflejo es este?

 

Por si esto fuera poco, a principios de la década de los cincuenta del siglo pasado, esta idea recibiría el apoyo de uno de los teoremas más célebres de la economía y las ciencias sociales: el teorema de imposibilidad de Arrow. La idea principal del teorema, formulada por el economista Kenneth Arrow, es la siguiente: cuando los votantes tienen ante sí tres o más alternativas, no existe un sistema de votación que permita agregar las preferencias individuales de manera colectiva sin violar una serie de requisitos que, a primera vista, parecerían bastante razonables[3]. Estos requisitos son:

 

  • Transitividad de las preferencias: Las preferencias (tanto individuales como colectivas) deben ser racionales, lo que requiere que sean transitivas.

 

  • Universalidad: Todas las preferencias (y únicamente ellas) de todos los votantes deben ser tenidas en cuenta. Esto garantiza que, si una elección se repitiera varias veces y las preferencias de los votantes se mantuvieran constantes, el resultado sería el mismo. En otras palabras, este requisito pretende asegurar que el resultado quede determinado únicamente por las preferencias de los votantes, y no por factores "ajenos".

 

  • Ausencia de un "dictador": El resultado de la elección no puede estar determinado simplemente por las preferencias de un único individuo. Esta es probablemente la cláusula más explícitamente democrática del teorema, pues trata de excluir posibles procedimientos de toma de decisiones en los que el resultado se identifique con las preferencias de un único participante.

 

  • Eficiencia de Pareto: Si todos los individuos que participan en la decisión prefieren una opción a sus alternativas, esto deberá reflejarse en el resultado final. Esto es, no puede darse una situación en la que todos los votantes prefieran A a B, y en la que, sin embargo, B resulte vencedora.

 

  • Independencia de las alternativas irrelevantes: La elección entre dos alternativas (A y B) deberá depender exclusivamente del grado en que un individuo prefiera una frente a la otra. La introducción de una tercera alternativa (C) no debería tener ninguna influencia sobre ello.

 

De acuerdo con Arrow, estas condiciones no pueden satisfacerse al mismo tiempo. Esto implica, entre otras cosas que, en determinadas circunstancias, el resultado no cumplirá el requisito de transitividad: las preferencias colectivas serán cíclicas.  La sombra de la paradoja de Condorcet se muestra, pues, alargada y tozuda. Ahora bien, ¿qué implica todo ello? Sobre esto se ha escrito muchísimo, y gran parte de las respuestas tienen que ver con cuestiones bastante técnicas acerca de si es posible, por ejemplo, relajar algunas de las condiciones asumidas por Arrow. Veamos algunas de estas propuestas que, por su generalidad, nos pueden interesar.

 

La primera respuesta es la más interesante desde un punto de vista filosófico, y consiste en poner en duda que, al menos en lo que respecta al razonamiento práctico, una violación del principio de transitividad sea siempre algo inadmisible. De hecho, tales violaciones podrían incluso ser inevitables. Esta intrigante posibilidad ha sido explorada minuciosamente por el filósofo estadounidense Larry Temkin. La teoría de Temkin, pacientemente desarrollada en varios lugares[4], sugiere que la relación "mejor que" podría no ser transitiva. Esta es una afirmación sorprendente. Supongamos que afirmo que una situación (A) donde una mayoría de individuos disfruta de un elevado nivel de bienestar es mejor que una situación (B) en la que es una minoría la que goza de esos beneficios. Si, paralelamente, afirmara que (B) es mejor que una tercera alternativa (C), en la que una mayoría vive vidas que apenas merecen ser vividas, parecería que automáticamente me comprometo con la idea de que (A) es mejor que (C), puesto que si (A) es mejor que (B) y (B) es mejor que (C), entonces (A) necesariamente debe ser mejor que (C). ¿No? Pues esto no es tan obvio, según Temkin. O al menos no siempre. Imaginemos las siguientes alternativas [5]:

 

A: 10 personas pasan sus vidas sin dos brazos y una pierna

B: 50 personas pasan sus vidas sin un brazo, una pierna y una mano

C: 200 personas pasan sus vidas sin un brazo y una pierna

D: 800 personas pasan sus vidas sin un brazo y un pie

E: 2000 personas pasan sus vidas sin un brazo

F: 6000 personas pasan sus vidas sin una mano

G: 20000 personas pasan sus vidas sin tres dedos

H: 100000 personas pasan sus vidas sin un dedo

I: 400000 personas pasan sus vidas sin la punta de un dedo                                    

 

¿Es B mejor que A? Según Temkin, la respuesta es sí. En este caso, parece moralmente deseable que algunos individuos sufran ligeramente más si eso reduce en general el número total de personas afectadas. De hecho, añade Temkin, esto se repite cada vez que comparamos una situación con su alternativa más cercana. Así, B sería mejor que A, C mejor que B, D mejor C, etcétera. No obstante, la cosa se complica cuando comparamos situaciones lo suficientemente alejadas en el espectro de posibilidades. Por ejemplo, ¿es I mejor que A? Pues probablemente no[6]. Es cierto que mucha más gente resulta afectada, pero el modo en que lo es parece ser cualitativamente diferente a la forma en que las 10 personas en A lo son. Vivir sin dos brazos y una pierna es inconmensurablemente peor que vivir simplemente sin la punta de un dedo, y no está claro que esto cambie simplemente porque añadamos más gente. Ahora bien, si esto es así, entonces tenemos un problema. ¿Por qué? Pues porque el principio de transitividad nos exige que si B>A, C>B, …, I>H, entonces I>A. Es decir, que si la relación "mejor que" es transitiva, una situación en la que 400000 personas vive sin la punta de un dedo es moralmente preferible a una situación en la que 50 personas viven sin sus brazos y una pierna. Justamente lo que habíamos rechazado al final del párrafo anterior.

 

De acuerdo con Temkin, tenemos varias opciones. En primer lugar, podemos negar la inteligibilidad del propio ejemplo, rechazando que tenga sentido hablar de un espectro de posibilidades como el que hemos asumido. En segundo lugar, podemos negar algunas de las afirmaciones morales realizadas. Por un lado, podemos rechazar las comparaciones entre situaciones cercanas en el espectro (entre A y B, B y C o C y D, por ejemplo). Hasta ahora hemos asumido que B es mejor que A pero esto podría no ser así. Por el otro lado, lo que podría ponerse en duda es la comparación entre situaciones alejadas en el espectro (como la comparación entre A y I). Alguien podría afirmar que, a pesar de nuestras intuiciones iniciales, I es realmente mejor que A [7]. Sin embargo, aún cabría una posibilidad adicional, que consistiría en rechazar el principio de transitividad, al menos para este tipo de casos. Si tomamos este camino, no tenemos por qué rechazar ninguna de nuestras intuiciones morales sobre las comparaciones entre alternativas, ya sean contiguas o distantes. Pero el precio es elevado, pues desligar la ética (o el razonamiento práctico en general) de las restricciones de la consistencia amenaza con volver irreconocible nuestro horizonte moral[8].

 

La propuesta de Temkin ha sido -y continúa siendo - ampliamente debatida, pero ofrece un ejemplo de cómo alguien podría poner en duda una de las asunciones fundamentales (aparentemente irrenunciables) del debate: la transitividad. Por supuesto, no todo el mundo ha tomado este camino. En lo que queda de este texto discutiremos dos posibles maneras de afrontar el problema de la inconsistencia independientemente de la cuestión sobre la transitividad.

 

La primera propuesta sostiene que las violaciones de la transitividad en un sistema democrático podrían ser beneficiosas. ¿Cómo? Pues generando incentivos para que los partidarios de opciones minoritarias sigan comprometidos con la democracia y así contribuir al mantenimiento de la estabilidad política. Siguiendo al teórico de la democracia Ian Shapiro, la idea central puede resumirse del siguiente modo: "la regla de la mayoría puede contribuir a la estabilidad política simplemente porque institucionaliza la posibilidad perpetua de subvertir el status quo"[9]. Supongamos que debemos elegir entre tres alternativas (A, B y C), y siguiendo un proceso mayoritario obtenemos un resultado en el que la mayoría prefiere A a B, y B a C. Supongamos además que yo soy un ferviente defensor de C, la opción minoritaria. Si la democracia excluyera resultados intransitivos, entonces C, mi opción favorita, quedaría prácticamente fuera de la competición, puesto que si la mayoría prefiere A a B y B a C, un resultado en el que la mayoría prefiriera C a A sería sencillamente inconcebible. Ahora bien, si, por el contrario, la democracia sí permite resultados intransitivos, entonces el partido aún no se ha terminado: C sigue siendo una opción viable, y yo, por lo tanto, sigo teniendo razones para mantener mi compromiso con los procedimientos democráticos.

 

Un requisito importante es que dicho orden de preferencias (A > B > C) debe haberse mantenido estable durante cierto tiempo. Es decir, no basta con que yo apoye una opción minoritaria, sino que esta sea una opción permanentemente minoritaria. Para entender esto, volvamos al ejemplo anterior, en el que yo apoyo la opción C pero una mayoría prefiere las alternativas A y B. Si esto sólo ha sucedido en una ocasión, la situación no es problemática, pues aun sería posible que las preferencias de mis conciudadanos se modificaran y C pasara a ser la opción mayoritaria en la siguiente elección. Pero si, por el contrario, la situación se repite en el tiempo, entonces la cosa es más grave: el orden de preferencias se ha estancado y yo cada vez puedo contar menos con que C vaya a imponerse de manera ordinaria. Suponiendo que soy un agente únicamente motivado por el deseo de maximizar la satisfacción de mis preferencias, esto significaría que las razones que tengo para apoyar los procedimientos democráticos se verían seriamente debilitadas, dado que estos no harían más que perpetuar un status quo desventajoso para mí. Pero, de nuevo, todo esto sería así únicamente si el axioma de la transitividad resulta verdadero. Si no lo es, entonces la situación es diferente, puesto que la probabilidad con que una mayoría prefiera A a B y B a C no excluiría que C pueda ser también la opción mayoritaria.

           

Esta idea no carece de interés, puesto que, efectivamente, resulta razonable sostener que si uno es un individuo preocupado únicamente por la satisfacción de sus preferencias individuales, la posible inconsistencia de la democracia le otorga razones adicionales para mantener su compromiso con dicho sistema. Ahora bien, el potencial explicativo de esta propuesta es algo limitado, principalmente porque el tipo de individuo que asume, preocupado exclusivamente por la satisfacción máxima de sus preferencias, se ajusta bastante poco a la compleja red de motivaciones de los seres humanos de carne y hueso. De hecho, una amplia literatura en el campo de la psicología social sugiere que los individuos tienden a aceptar decisiones en mayor medida si consideran que estas se llevaron a cabo siguiendo procedimientos equitativos de toma de decisiones[10]. Esto supone que la mayoría de nosotros no se pregunta simplemente cuáles son las probabilidades de que una determinada decisión avance nuestros propios intereses antes de decidir si la aceptamos o no, sino que también es importante que el procedimiento haya sido justo. Por decirlo de otro modo: probablemente no nos comprometemos con un sistema político en concreto por razones puramente egoístas, sino (al menos en parte) porque creemos (independientemente del modo en que hayamos adquirido esas creencias) que es moralmente defendible o valioso.

 

La segunda manera de responder al desafío de la inconsistencia sin tener que decir nada sobre el tema de la transitividad, puede resumirse de la siguiente manera: ¿Inconsistencias? Bien, vale, enséñame dónde. De acuerdo con esta postura, lo importante no es si un modelo formal y altamente abstracto predice que los procedimientos democráticos llevarán (o pueden llevar) a decisiones inconsistentes, sino con qué frecuencia realmente suceden. Por ejemplo, en su libro Democracy Defended[11], Gerry Mackie sostiene que la mayoría de supuestos casos de resultados intransitivos en realidad no lo son. Los resultados inconsistentes, si es que alguna vez llegan a darse, son bastante infrecuentes. Sobre esta respuesta poco podemos decir: la única opción es remangarnos y meternos de lleno en el barro de los casos concretos.

 

A modo de conclusión: ¿cuán serio es el problema de los resultados intransitivos? Como hemos visto, la respuesta que demos dependerá al menos de tres factores: i) cuán estricto e inquebrantable resulte ser realmente el requisito de la transistividad; ii) cuáles sean los posibles efectos beneficiosos de la intransitividad, y iii) cuán frecuente sean este tipo de situaciones.

 

[1] De hecho, para algunos ni siquiera son necesarios cambios profundos en la democracia en sí, sino en lo que nosotros esperamos de ella. Véase, por ejemplo, Christopher Achen y Larry Bartels. 2016. Democracy for Realists. Princeton: Princeton University Press.

 

[2] Formulado en su obra Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix":  <http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k417181>

 

[3] Tal y como aparece en Arrow, Kenneth. 1963. Social Choice and Individual Values. New Haven: Yale University Press.

 

[4 Temkin ha reunido todas sus ideas sobre el tema en su interesante libro Rethinking the Good. Oxford: Oxford University Press, 2012.

 

[5] Temkin 2012, 50-51.

 

[6] De nuevo, cabe señalar que estas son las intuiciones del propio Temkin, quien cree i) que existen respuestas objetivas a la pregunta sobre si un estado de cosas es más deseable que otro; y ii) que las intuiciones sobre casos particulares son útiles (aunque para nada infalibles) para responder esta clase de preguntas. Véase, por ejemplo, Ibid., 7.

 

[7] Por supuesto, también podría rechazarse la asunción, expresada en la nota de arriba, de que este tipo de preguntas admiten respuestas objetivas.

 

[8] Aunque no necesariamente, si este tipo de casos resultara ser la norma en lugar de la excepción.

 

[9] Shapiro, Ian. 2003. The State of Democratic Theory. New Haven: Yale University Press; 14. Esta tesis ha sido defendida, por ejemplo, por Adam Przeworski, en Przeworski, Adam. 1991. Democracy and the Market.

 

[10] Véase, por ejemplo, Tyler, Tom. 2000. "Social Justice: Outcome and Procedure", International Journal of Psychology 35(2): 117-125.

 

[11] Mackie, Gerry. 2003. Democracy Defended. Cambridge: Cambridge University Press. Para una visión diferente, véase Achen, Christopher y Larry Bartels. 2016. Democracy for Realists. Princeton: Princeton University Press (cap. 1) y Levmore, Saul. 2005. "Public Choice Defended (reviewing Gerry Mackie, Democracy Defended (2003)", University of Chicago Law Review 72: 777-796.

 

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