La paradoja de Russell

La paradoja de Russell, formulada por Ernst Zermelo en 1900 y por Bertrand Russell en 1901 de forma independientemente, es posiblemente la paradoja más conocida en la teoría informal de conjuntos. Muchos de vosotros, seguramente, conoceréis una formulación alternativa de la misma: la paradoja del barbero. Imagina un pueblo en el que solamente hay un barbero y que se te dice que el barbero afeita únicamente a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. La pregunta es, entonces, ¿quién afeita al barbero? Si asumimos que se afeita él mismo, entonces no se afeita a sí mismo, dado que solo afeita a los hombres que no se afeitan a sí mismos. Si suponemos, por el contrario, que no se afeita a sí mismo, entonces se afeita a sí mismo dado que él afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. Es decir, para cualquiera de los dos casos hallamos contradicción.

La paradoja de Russell es una paradoja similar pero formulada en términos de conjuntos y dirigida a denunciar que la teoría informal de conjuntos desarrollada por George Cantor y Gottlob Frege era contradictoria. Pero, antes de formular la paradoja, ¿qué es la teoría informal de conjuntos? Un conjunto es una idea abstracta que sirve para referirse a una colección de objetos: el conjunto de todas las personas, sillas, números naturales, etc. La teoría informal de conjuntos sostiene que todo conjunto se define por una propiedad y que, a su vez, toda propiedad define un conjunto. Así pues, el conjunto de todas las sillas se conforma por los objetos que satisfacen la propiedad “ser silla” y el conjunto de números primos lo hace por todos los números naturales que satisfacen la propiedad “ser divisible únicamente por sí mismo y por uno”.

Sin embargo, dado que no existe restricción alguna en cuanto a las propiedades que pueden definir conjuntos, definamos un conjunto compuesto por todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Claramente, hay conjuntos que se contienen a sí mismos y otros que no. El conjunto de todas las ideas abstractas se contiene a sí mismo, puesto que la idea de conjunto es abstracta, como se ha dicho. Por otro lado, el conjunto de todos los caballos no se contiene a sí mismo. Pero, ¿qué ocurre con el conjunto que acabamos de definir? ¿se contiene a sí mismo? Supongamos que no se contiene a sí mismo. Siendo así, se contendría a sí mismo, ya que satisface la propiedad de no contenerse a sí mismo. Si asumimos que se contiene a sí mismo, entonces no satisface la propiedad susodicha, es decir, no se contiene a sí mismo. Por lo tanto, ambas opciones nos llevan a una contradicción y de ahí la paradoja.

A día de hoy se han propuesto diversas soluciones y la teoría de conjuntos está mucho más desarrollada que entonces. Sin embargo, para el pobre Frege el daño ya estaba hecho. Russell envió a Frege la paradoja que había descubierto y la carta llegó a Frege cuando este estaba a punto de presentar el segundo volumen de su Grundgesetze der Arithmetik. La paradoja de Russell destruía los cimientos sobre los que se erigía la obra de Frege, con lo que no pudo más que reconocerlo, añadiendo un apéndice en el segundo volumen. Al parecer, Frege nunca visitó al barbero.

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